17世纪初，欧洲很多科学家都面临资金短缺、生活困顿的问题，伽利略也不例外。所以，他经常把自己的发现和发明当作礼物送给那些赞助者，希望从他们那里得到资助，继续从事研究。1610年，他又有了一个重大的发现——发现了木星周围的卫星。这一次，他把这个发现呈献给了麦迪西家族。他在寇西默二世登基的同时，宣布从望远镜中看见一颗明亮的星星（木星），木星有四颗卫星，代表了寇西默与其三个兄弟。而卫星环绕木星运行，就如同这4名儿子围绕着他们的父亲——王朝的创建者寇西默一世一样。之后，伽利略还委托别人制造了一枚徽章，徽章上刻着这样的图案：天神朱庇特坐在云端上，四颗星星围绕着他。他把这颗徽章献给寇西默二世，象征着他和天上所有星星的关系。
寇西默二世得到了荣耀，非常高兴，于是任命伽利略为宫廷哲学家和数学家，并给予全薪。对于一个科学家而言，这是人生中最辉煌的岁月。伽利略四处乞求赞助的日子结束了，从此可以全身心投入到他的科学研究中去。